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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          a•2x-2+a
          2x+1
          (a∈R).
          (1)試判斷f(x)的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
          (2)若f(x)為定義域上的奇函數(shù),
          ①求函數(shù)f(x)的值域;
          ②求滿(mǎn)足f(ax)<f(2a-x2)的x的取值范圍.
          (本小題滿(mǎn)分16分)
          (1)函數(shù)f(x)為定義域(-∞,+∞),
          f(x)=a-
          2
          2x+1
          ,
          任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2
          f(x2)-f(x1)=a-
          2
          2x2+1
          -a+
          2
          2x1+1
          =
          2(2x2-2x1)
          (2x2+1)(2x1+1)
          …(3分)
          ∵y=2x在R上單調(diào)遞增,且x1<x2
          0<2x12x2,2x2-2x1>02x1+1>0,2x2+1>0,
          ∴f(x2)-f(x1)>0,
          即f(x2)>f(x1),
          ∴f(x)在(-∞,+∞)上的單調(diào)增函數(shù).…(5分)
          (2)∵f(x)是定義域上的奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),
          a-
          2
          2-x+1
          +(a-
          2
          2x+1
          )=0
          對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,
          化簡(jiǎn)得2a-(
          2•2x
          2x+1
          +
          2
          2x+1
          )=0
          ,
          ∴2a-2=0,即a=1,…(8分)
          (注:直接由f(0)=0得a=1而不檢驗(yàn)扣2分)
          ①由a=1得f(x)=1-
          2
          2x+1

          ∵2x+1>1,∴0<
          1
          2x+1
          <1
          ,…(10分)
          -2<-
          2
          2x+1
          <0
          ,∴-1<1-
          2
          2x+1
          <1

          故函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?1,1).…(12分)
          ②由a=1,得f(x)<f(2-x2),
          ∵f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,∴x<2-x2,…(14分)
          解得-2<x<1,
          故x的取值范圍為(-2,1).…(16分)
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-
          12x+1

          (1)求證:不論a為何實(shí)數(shù)f(x)總是為增函數(shù);
          (2)確定a的值,使f(x)為奇函數(shù);
          (3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí),求f(x)的值域.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)
          a-x  ,x≤0
          1  ,0<x≤3
          (x-5)2-a,x>3
          (a>0且a≠1)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(8,6).
          (1)求a的值,并在直線(xiàn)坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖象;
          (2)求函數(shù)f(t)-9的零點(diǎn);
          (3)設(shè)q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數(shù)q(t)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-
          1
          2x+1
          ,若f(x)為奇函數(shù),則a=(  )
          A、
          1
          2
          B、2
          C、
          1
          3
          D、3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          a(x-1)x2
          ,其中a>0.
          (I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (II)若直線(xiàn)x-y-1=0是曲線(xiàn)y=f(x)的切線(xiàn),求實(shí)數(shù)a的值;
          (III)設(shè)g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-
          12x-1
          ,(a∈R)
          (1)求f(x)的定義域;
          (2)若f(x)為奇函數(shù),求a的值;
          (3)考察f(x)在定義域上單調(diào)性的情況,并證明你的結(jié)論.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案