Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，=2.71828……是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行．

（1）求的值；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)，其中是的導(dǎo)函數(shù)．證明：對任意＞0，＜．

Answer 1

【答案】(1)；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(3)證明見解析.

【解析】

試題分析：(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),函數(shù)在點(diǎn)處的切線與軸平行,說明,則可得；(2)求出函數(shù)的定義域,然后讓導(dǎo)數(shù)等于,求出極值點(diǎn),借助于導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的符號(hào)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3),分別研究的單調(diào)性,可得函數(shù)的范圍,即可證明結(jié)論.

試題解析：（1）由，得，，由于曲線在處的切線與軸平行，所以，因此

（2）由（1）得，令 當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí)，.又，所以時(shí)，；

時(shí)，，因此的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（3）證明因?yàn)?/span>，所以，.因此對任意等價(jià)于.

由（2）知，

所以，

因此當(dāng)時(shí)，﹥0, 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí), ﹤0, 單調(diào)遞減.

所以的最大值為 故. 設(shè),

因?yàn)?/span>，所以，﹥0, 單調(diào)遞增, ﹥,

故時(shí)，,即﹥1.所以﹤,

因此對任意, ﹤.