已知橢圓C：
＋
＝1(a＞b＞0)的離心率為e＝
，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個頂點，P為橢圓C上的動點．
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)若P與A，B均不重合，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為k1，k2，證明：k1·k2為定值；
(Ⅲ)M為過P且垂直于x軸的直線上的點，若
＝λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．
|
解：(Ⅰ)由題意可得圓的方程為 ∵直線 所以橢圓方程為 (Ⅱ)設(shè) 即 ∴ (Ⅲ)設(shè) 由已知 整理得 ①當(dāng) 所以點 ②當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) |
閱讀快車系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
（08年泉州一中適應(yīng)性練習(xí)文）（12分）已知橢圓C：
＋
＝1（a＞b＞0）的離心率為
，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點。
（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點）的斜率KON ；
（2）對于橢圓C上任意一點M ，試證：總存在角
（∈R）使等式：
＝cos
＋sin
成立。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
（09年湖北重點中學(xué)4月月考理）（13分
已知橢圓C：
＋
＝1（a＞b＞0）的離心率為
，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的
（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點）的斜率KON ；
1） （2）對于橢圓C上任意一點M ，試證：總存在角
（∈R）使等式：
＝cos
＋sin
成立
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
已知橢圓C：
＋
＝1（a＞b＞0）的離心率為
，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點。
（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點）的斜率KON ；
（2）對于橢圓C上任意一點M ，試證：總存在角
（∈R）使等式：
＝cos
＋sin
成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
已知橢圓C：
＋
＝1（a＞b＞0）的離心率為
，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點。
（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點）的斜率KON ；
（2）對于橢圓C上任意一點M ，試證：總存在角
（∈R）使等式：
＝cos
＋sin
成立。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆湖北省武漢市高三9月調(diào)研測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
已知橢圓C：
＋
＝1（a＞b＞0）的離心率為
，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當(dāng)l的斜率為1時，坐標(biāo)原點O到l的距離為
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有
＝
＋
成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由．
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，
與圓相切，∴
，即
，又
，即
，
，解得
，
，
；3分
，
，
，則
，即
，則
，
，
，
為定值
．6分
，其中
．
及點
在橢圓
上可得
，
，其中
時，化簡得
，
的軌跡方程為
，軌跡是兩條平行于
軸的線段；9分
時，方程變形為
，其中
時，點
的軌跡為中心在原點、實軸在
軸上的雙曲線滿足
的部分；11分
時，點
的軌跡為中心在原點、長軸在
軸上的橢圓滿足
時，點
的軌跡為中心在原點、長軸在
軸上的橢圓．13分