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        1. (2012•遼寧)如圖,動(dòng)圓C1x2+y2=
          t
          2
           
          ,1<t<3與橢圓C2
          x2
          9
          +y2=1
          相交于A,B,C,D四點(diǎn),點(diǎn)A1,A2分別為C2的左,右頂點(diǎn).
          (Ⅰ)當(dāng)t為何值時(shí),矩形ABCD的面積取得最大值?并求出其最大面積;
          (Ⅱ)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.
          分析:(Ⅰ)設(shè)A(x0,y0),則矩形ABCD的面積S=4|x0||y0|,由
          x02
          9
          +y02=1
          y02=1-
          x02
          9
          ,從而x02y02=x02( 1-
          x02
          9
          )
          ,由此可求矩形ABCD的面積的最大值;
          (Ⅱ)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0),確定直線AA1的方程,直線A2B方程,利用y02=1-
          x02
          9
          ,即可求得直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程.
          解答:解:(Ⅰ)設(shè)A(x0,y0),則矩形ABCD的面積S=4|x0||y0|
          x02
          9
          +y02=1
          y02=1-
          x02
          9
          ,從而x02y02=x02( 1-
          x02
          9
          )
          =-
          1
          9
          (x02-
          9
          2
          )2+
          9
          4

          x02=
          9
          2
          y02=
          1
          2
          時(shí),Smax=6
          ∴t=
          5
          時(shí),矩形ABCD的面積取得最大值,最大面積為6;
          (Ⅱ)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0),知直線AA1的方程為y=
          y0
          x0+3
          (x+3)

          直線A2B方程為y=
          -y0
          x0-3
          (x-3)

          由①②可得:y2=
          -y02
          x02-9
          (x2-9)

          y02=1-
          x02
          9

          ∴④代入③可得
          x2
          9
          -y2=1
          (x<-3,y<0)
          ∴直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程
          x2
          9
          -y2=1
          (x<-3,y<0).
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線、圓、橢圓的方程,橢圓的幾何性質(zhì),軌跡方程的求法,考查函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解能力和推理論證能力,難度較大.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•遼寧)如圖,直三棱柱ABC-A'B'C',∠BAC=90°,AB=AC=λAA',點(diǎn)M,N分別為A'B和B'C'的中點(diǎn).
          (I)證明:MN∥平面A'ACC';
          (II)若二面角A'-MN-C為直二面角,求λ的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•遼寧)如圖,直三棱柱ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=
          2
          ,AA′=1,點(diǎn)M,N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn).
          (Ⅰ)證明:MN∥平面A′ACC′;
          (Ⅱ)求三棱錐A′-MNC的體積.
          (椎體體積公式V=
          1
          3
          Sh,其中S為地面面積,h為高)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•遼寧)如圖,已知橢圓C0
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0,a,b為常數(shù))
          ,動(dòng)圓C1x2+y2=
          t
          2
          1
          ,b<t1<a
          .點(diǎn)A1,A2分別為C0的左右頂點(diǎn),C1與C0相交于A,B,C,D四點(diǎn).
          (I)求直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程;
          (II)設(shè)動(dòng)圓C2x2+y2=
          t
          2
          2
          與C0相交于A',B',C',D'四點(diǎn),其中b<t2<a,t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等,證明:
          t
          2
          1
          +
          t
          2
          2
          為定值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

           [2012·遼寧卷] 如圖1-5,直三棱柱ABCABC′,∠BAC=90°,ABAC,AA′=1,點(diǎn)M,N分別為ABBC′的中點(diǎn).

          (1)證明:MN∥平面AACC′;

          (2)求三棱錐A′-MNC的體積.

          (錐體體積公式VSh,其中S為底面面積,h為高)

          圖1-5

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          同步練習(xí)冊(cè)答案