Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-3n(n∈N^*).

(1)求{a_n}的通項(xiàng)公式;

(2)數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng),它們按原順序可以構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,求出一組適合條件的項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

思路分析:存在性探索題可運(yùn)用反證法的思想,先假設(shè)存在,若推出矛盾,即假設(shè)存在不成立;若推出符合存在性的條件,則存在性成立.

解:(1)a₁=S₁=2a₁-3,則a₁=3.

由a_n=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n-3a_n+1+3=2(a_n+3),

∴{a_n+3}為等比數(shù)列,首項(xiàng)為a₁+3=6,公比為2.

∴a_n+3=6·2^n-1,即a_n=3·2ⁿ-3.

(2)假設(shè)數(shù)列{a_n}中存在三項(xiàng)a_r,a_s,a_t(r＜s＜t),它們可以構(gòu)成等差數(shù)列,且a_r＜a_s＜a_t.

∴只能是a_r+a_t=2a_s,即3(2^r-1)+3(2^t-1)=6(2^s-1).

∴2^r+2^t=2^s+1.∴1+2^t-r=2^s+1-r.(*)

∵r＜s＜t,r,s,t均為正整數(shù),∴(*)式左邊為奇數(shù),右邊為偶數(shù),不可能成立.

∴數(shù)列{a_n}中不存在可以構(gòu)成等差數(shù)列的三項(xiàng).

    誤區(qū)警示 在解答(2)時(shí),易錯(cuò)取三項(xiàng)a_n-1,a_n,a_n+1.事實(shí)上,適合條件的三項(xiàng)并不一定是連續(xù)的.