Question

△ABC中，A，C為銳角，角A，B，C所對的邊之長依次為a，b，c，且sinA=

5

5

，cos2C=

4

5

．
（1）求cos（A+C）的值；
（2）若a-c=

2

-1，求a，b，c的值．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，由cos2C=

4

5

及二倍角余弦公式求得sinC、cosC的值，再由sinA的值求得cosA的值，再利用兩角和差的余弦公式求得cos（A+C）的值．
（2）應(yīng)用正弦定理，由條件求得2R的值，再利用正弦定理的變形a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC求出結(jié)果．

解答：解：（1）△ABC中，由 cos2C=

4

5

及二倍角余弦公式、A，B是銳角求得sinC=

1

10

，cosC=

3

10

．（3分）
再由sinA=

1

5

，得cosA=

2

5

，（4分）
∴cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=

2

5

×

3

10

-

1

5

×

1

10

=

2

2

．（6分）
（2）應(yīng)用正弦定理，由條件得2RsinA-2RsinC=

2

-1，得2R=

10

，（ 9分）
故 sinB=sin(A+C)=

2

2

，
∴a=2RsinA=

2

；b=2RsinB=

5

；c=2RsinC=1．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，兩角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．