Question

從以下兩個小題中選做一題（只能做其中一個，做兩個按得分最低的記分）．
（1）自極點O向直線l作垂線，垂足是H（(2，

π

3

），則直線l的極坐標(biāo)方程為

 

．
（2）如圖，⊙O和⊙O'都經(jīng)過A、B兩點，AC是⊙O'的切線，交⊙O于點C，AD是⊙O的切線，交⊙O'于點D，若BC=2，BD=6，則AB的長為

 

．

Answer 1

分析：（1）此題可直接在極坐標(biāo)系中求出直線l的極坐標(biāo)方程．設(shè)直線l上任一點的極坐標(biāo)為（ρ，θ），再結(jié)合直角三角形的邊角關(guān)系即可求得ρ與θ的關(guān)系式即為所求直線l的極坐標(biāo)方程．
（2）由AC是圓O'的切線，AD是圓O的切線，利用圓的弦切角等于所夾弧所對的圓周角，得到三角形ABC與三角形ABD相似，由相似得到三角形的對應(yīng)邊成比例得到一個關(guān)系式，把BC和AB的值代入關(guān)系式即可求出BD的值．

解答：（1）解：如圖，
極點O向直線l作垂線，垂足是H，
設(shè)直線l上任一點的極坐標(biāo)為（ρ，θ），
在直角三角形OHM中，∠HOM=ρ-

π

3

，
OH=OMcos∠HOM，
∴ρcos（θ-

π

3

）=2
或展開得：ρcosθ+3ρsinθ-4=0．
故答案為：ρcos（θ-

π

3

）=2或 ρcosθ+3ρsinθ-4=0．
（2）解：因為AC是圓O′的切線，
∴∠CAB=∠D，
∵AD是圓O的切線，
∴∠BAD=∠C，
∴△ABC∽△DBA，
∴

AB

BC

=

BD

AB

，又BC=2，BD=6，
則AB的長為2

3

故答案為：2

3

．

點評：（1）本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點的位置的區(qū)別，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．
（2）此題考查學(xué)生靈活運用弦切角定理以及三角形相似對應(yīng)邊成比例化簡求值，是一道中檔題．