Question

已知f(x)=(

x-1

x+1

)2(x≥1)
（Ⅰ）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（Ⅱ）設(shè)g(x)=

1

f-1(x)

+

x

+2，求g（x）的最小值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由反函數(shù)的定義，先將x用y表示出來，再交換x與y的位置即可得到函數(shù)的反函數(shù)，注意寫出反函數(shù)的定義域；
（II）由于g(x)=

1

f-1(x)

+

x

+2可化為g（x）=(1+

x

)+

2

1+ x

，出現(xiàn)了積為定值，且等號(hào)成立的條件具備，故用基本不等式求出最小值及相應(yīng)的x的值

解答：解：（I）f(x)=(

x-1

x+1

)2即y=(1-

2

x+1

)2
∵x≥1
∴0≤y＜1

x-1

x+1

=

y

∴x=

1+ y

1- y

∴f-1(x)=

1+ x

1- x

(0≤x＜1)
（II）g(x)=

1- x

1+ x

+

x

+2(0≤x＜1)=

(1+ x )2+2

1+ x

=(1+

x

)+

2

1+ x

≥2

2

當(dāng)且僅當(dāng)1+

x

=

2

1+ x

，即x=3-2

2

∈[0， 1)時(shí)取等號(hào)．
∴當(dāng)x=3-2

2

 時(shí)，g(x)min=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查反函數(shù)，解答本題，關(guān)鍵是熟練掌握反函數(shù)的定義以及求反函數(shù)的步驟，先用y表示x，再交換x與y的位置得出反函數(shù)的解析式，本題有一個(gè)易漏點(diǎn)，即忘記求出反函數(shù)的定義域．