Question

已知函數(shù)f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

，若函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x）．
（1）求實數(shù)a的值．
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），可得f（0）=0，從而可求實數(shù)a的值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義及證明步驟：取值，作差，變形，定號下結(jié)論即可．

解答：解：（1）由題意，函數(shù)的定義域為R．…（2分）
∵f（-x）=-f（x），
∴f（-0）=-f（0），即f（0）=0．
∴

2a-2

2

=0．解得a=1                     …（6分）
（2）f（x）在定義域R上為增函數(shù)
任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則2x1＜2x2 …（7分）
則f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在定義域R上為增函數(shù)．                 …（12分）

點評：本題考查函數(shù)的解析式的求解，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，屬于基礎題．