Question

某商場(chǎng)準(zhǔn)備在倫敦奧運(yùn)會(huì)期間舉行促銷(xiāo)活動(dòng)．根據(jù)市場(chǎng)行情，該商場(chǎng)決定從3種品牌的服裝類(lèi)商品、2種品牌的家電類(lèi)商品、4種品牌的日用類(lèi)商品中，任選出3種商品進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)．
（Ⅰ）求選出的3種商品中至少有一種是日用類(lèi)商品的概率；
（Ⅱ）商場(chǎng)對(duì)選出的家電類(lèi)商品采用的促銷(xiāo)方案是有獎(jiǎng)銷(xiāo)售，即在該類(lèi)商品成本價(jià)的基礎(chǔ)上每件提高180元作為售價(jià)銷(xiāo)售給顧客，同時(shí)給該顧客3次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)一次，就可以獲得一次獎(jiǎng)金．假設(shè)該顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)的概率都是，每次中獎(jiǎng)與否互不影響，且每次獲獎(jiǎng)時(shí)的獎(jiǎng)金數(shù)額都為x元，求顧客購(gòu)買(mǎi)一件此類(lèi)商品時(shí)中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ，并以此測(cè)算x至多為多少時(shí)，此促銷(xiāo)方案使商場(chǎng)不會(huì)虧本？

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)選出的3種商品中至少有一種是日用商品為事件A，利用間接法能求出選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率．
（Ⅱ）設(shè)顧客抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額為ξ，則ξ的可能取值為0，x，2x，3x，分別求出P（ξ=0），P（ξ=x），P（ξ=2x），P（ξ=3x），由此能求出顧客中獎(jiǎng)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望Eξ，從而能求出此促銷(xiāo)方案使商場(chǎng)不會(huì)虧本的每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)額．
解答：解：（I）設(shè)選出的3種商品中至少有一種是日用商品為事件A，
則P（A）=1-=．
即選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率為．
（Ⅱ）設(shè)顧客抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額為ξ，則ξ的可能取值為0，x，2x，3x，
P（ξ=0）=（1-）（1-）（1-）=，
P（ξ=x）==，
P（ξ=2x）==，
P（ξ=3x）==，
∴顧客中獎(jiǎng)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×+x×+2x×+3x×=，
設(shè)商場(chǎng)將每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金額定為x元，則≤180，解得x≤120，
即該商場(chǎng)應(yīng)將每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金數(shù)額至多定為120元，才能使商場(chǎng)不虧本．
點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意排列組合和概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．