Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AA₁=2，E為棱CC₁的中點．
（1）求證：B₁D₁⊥AE；
（2）求三棱錐A-BDE的體積．

Answer 1

分析：（1）連接BD，則BD∥B₁D₁，可先證明CE⊥面ABCD，進而可知BD⊥面ACE．從而有B₁D₁⊥AE．
（2）利用等體積轉(zhuǎn)化，V_A-BDE=V_E-ABD，故可求．

解答：
解：（1）證明：連接BD，則BD∥B₁D₁，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∵CE⊥面ABCD，
∴CE⊥BD．
又AC∩CE=C，
∴BD⊥面ACE．
∵AE?面ACE，
∴BD⊥AE，
∴B₁D₁⊥AE．-----------（6分）
（2）S_△ABD=2
VA-BDE=VE-ABD=

1

3

×S△ABD×CE=

2

3

．-----------（12分）

點評：本題以正方體為載體，考查立體幾何中的位置關(guān)系、體積．關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定．