Question

在數列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且當n≥2時，a，n∈N^*．
（I）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（II）若b_n=（2n-1）a_n，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（III）求證：．

Answer 1

（Ⅰ）解：在數列{a_n}中，∵當n≥2時，a，∴數列{a_n}為等比數列，
又∵a₁=2，a₂=4，∴公比．
∴數列{a_n}的通項公式為；
（Ⅱ）解：由b_n=（2n-1）a_n，，得．
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ ①．
②．
①-②得：
=
=2-8（1-2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-6+2ⁿ⁺²-n•2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹．
∴；
（Ⅲ）證明：∵（n≥2），
∴

=．
分析：（Ⅰ）由給出的數列的遞推式a，n∈N^*，可以斷定數列是等比數列，再由a₁=2，a₂=4求出等比數列的公比，則通項公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a_n代入b_n=（2n-1）a_n，利用錯位相減法可求數列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）把代入，然后進行放大，化為代入要證的不等式左邊，正負相消后可證出結論．
點評：本題考查了利用數列的遞推式確定等比關系，考查了錯位相減法求數列的先n項和，訓練了放縮法證明不等式，利用放縮法證不等式是學生學習中的難點．此題屬難題．