Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為e，右頂點為A，左、右焦點分別為F₁、F₂，點E為右準(zhǔn)線上的動點，∠AEF₂的最大值為θ．
（1）若雙曲線的左焦點為F₁（-4，0），一條漸近線的方程為3x-2y=0，求雙曲線的方程；
（2）求sinθ（用e表示）；
（3）如圖，如果直線l與雙曲線的交點為P、Q，與兩條漸近線的交點為P'、Q'，O為坐標(biāo)原點，求證：

OP

+

OQ

=

OP′

+

OQ′

．

Answer 1

分析：（1）方法1：設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

16-a2

=1，其漸近線的方程為y=±

16-a2

a

x．因為一條漸近線的方程是y=

3

2

x，所以

16-a2

a

=

3

2

，由此能求出雙曲線的方程．
方法2：雙曲線的一條漸近線是3x-2y=0，設(shè)雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

9

=λ．由焦點是（-4，0），得4λ+9λ=16，由此能求出雙曲線的方程．
（2）設(shè)經(jīng)過點A、F₂的圓C與準(zhǔn)線相切于點M，交EF₂于點N．由∠AMF₂=∠ANF₂≥∠AEF₂，知∠AMF₂=θ．由A（a，0），F(xiàn)₂（c，0），知C(

a+c

2

，y0)，由此能求出sinθ（用e表示）．
（3）方法1：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=mx+n，代入

x2

a2

-

y2

b2

=1中得（b²-a²m²）x²-2a²mnx-a²（n²+b²）=0．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點為G（α，β），則α=

x1+x2

2

=

a2mn

b2-a2m2

．由此能證明

OP

+

OQ

=

OP′

+

OQ′

．
方法2：當(dāng)直線l的斜率不存在或為零時，即直線l垂直于x軸或垂直于y軸時，由對稱性可知線段PQ與線段P'Q'有共同的中點，所以|PP'|=|QQ'|．設(shè)l：y=kx+m（k≠0）．設(shè)PQ的中點為G（x₀，y₀），P'Q'的中點為G'（x'₀，y'₀），則由點差法可得

x0

a2

=

y0

b2

k，且

x′0

a2

=

y′0

b2

k，由此能夠證明

OP

+

OQ

=

OP′

+

OQ′

．

解答：解：（1）方法1 
 雙曲線的左焦點為F₁（-4，0），
設(shè)雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

16-a2

=1，
則其漸近線的方程為

x2

a2

-

y2

16-a2

=0，即y=±

16-a2

a

x．
又∵一條漸近線的方程是y=

3

2

x，
∴

16-a2

a

=

3

2

，得a2=

64

13

，16-a2=

144

13

．
故雙曲線的方程為

13x2

64

-

13y2

144

=1．
方法2
∵雙曲線的一條漸近線是3x-2y=0，即

x

2

-

y

3

=0，
∴可設(shè)雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

9

=λ．
∵焦點是（-4，0），
∴由

x2

4λ

-

y2

9λ

=1得4λ+9λ=16，
∴λ=

16

13

，
∴雙曲線的方程為

13x2

64

-

13y2

144

=1．
（2）設(shè)經(jīng)過點A、F₂的圓C與準(zhǔn)線相切于點M，交EF₂于點N．
∵∠AMF₂=∠ANF₂≥∠AEF₂（當(dāng)E與M重合時取“=”），
∴∠AMF₂=θ．
∵A（a，0），F(xiàn)₂（c，0），
∴C(

a+c

2

，y0)，
又∵M(

a2

c

，y0)，
∴圓C的半徑R=|CM|=

a+c

2

-

a2

c

．
由正弦定理得

|AF2|

sinθ

=2R，
∴sinθ=

|AF2|

2R

=

c-a

a+c- 2a2 c

=

c(a-c)

(2a+c)(a-c)

=

c

2a+c

=

c a

2+ c a

=

e

e+2

．
（3）證明：方法1 
 當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=mx+n，
代入

x2

a2

-

y2

b2

=1中得（b²-a²m²）x²-2a²mnx-a²（n²+b²）=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點為G（α，β），
則α=

x1+x2

2

=

a2mn

b2-a2m2

．
同理，將y=mx+n代入漸近線方程

x2

a2

-

y2

b2

=0中，
得（b²-a²m²）x²-2a²mnx-a²n²=0．
設(shè)P'（x'₁，y'₁），Q'（x'₂，y'₂），
線段P'Q'的中點為G'（α'，β'），
則α′=

x′1+x′2

2

=

a2mn

b2-a2m2

，
∴α=α'，即線段PQ與線段P'Q'有共同的中點．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，即直線l垂直于x軸時，
由對稱性可知線段PQ與線段P'Q'有共同的中點
．∴

OP + OQ

2

=

OP′ + OQ′

2

，即

OP

+

OQ

=

OP′

+

OQ′

．
方法2  
當(dāng)直線l的斜率不存在或為零時，
即直線l垂直于x軸或垂直于y軸時，
由對稱性可知線段PQ與線段P'Q'有共同的中點，
∴|PP'|=|QQ'|．
當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時，可設(shè)l：y=kx+m（k≠0）．
設(shè)PQ的中點為G（x₀，y₀），P'Q'的中點為G'（x'₀，y'₀），
則由點差法可得

x0

a2

=

y0

b2

k，
且

x′0

a2

=

y′0

b2

k，
∴點G、G'在直線l'：

x

a2

=

y

b2

k，
即y=

b2

a2k

x上．
又∵點G、G'在直線l：y=kx+m上，
∴點G、G'同為直線l與l'的交點．
故點G、G'重合，
∴

OP + OQ

2

=

OP′ + OQ′

2

，
即

OP

+

OQ

=

OP′

+

OQ′

．

點評：通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．