Question

設(shè)函數(shù)，且f（1）=1，f（2）=log₂12
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，求f（x）的最大值；
（3）p為何值時(shí)，函數(shù)與x軸無(wú)交點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)，
且f（1）=1，f（2）=log₂12，
∴，
解得a=4，b=2．
（2）∵f（x）=log₂（4^x-2^x）
=log₂2^x+log₂（2^x-1）在[1，2]是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（2）=log₂12．
（3）∵函數(shù)g（x）=與x軸無(wú)交點(diǎn)，
∴滿(mǎn)足，
∴，
由①得p＞-4^x+2^x=-（2^x-）²+有解，
∴p＞[-（2^x-）²+]_min，
∵-（2^x-）²+→-∞，∴p∈R．③
由②得p=-4^x+2^x+1=-（2^x-）²+無(wú)實(shí)數(shù)解，
而-（2^x-）²+≤，
∴p，④，
綜合③④知P＞．
分析：（1）由函數(shù)，且f（1）=1，f（2）=log₂12，知，由此能求出a，b的值．
（2）由f（x）=log₂（4^x-2^x）=log₂2^x+log₂（2^x-1）在[1，2]是增函數(shù)，能夠求出f（x）的最大值．
（3）由函數(shù)g（x）=與x軸無(wú)交點(diǎn)，知滿(mǎn)足，由此能求出p的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的求法，考查函數(shù)的最大值的求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．