Question

若(

x

+

1

2  4 x

)n展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求：
（1）展開式中所有x的有理項(xiàng)；
（2）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

易求得展開式前三項(xiàng)的系數(shù)為 1，

1

2

C

1n

，

1

4

C

2n

．（2分）
據(jù)題意 2×

1

2

C

1n

=1+

1

4

C

2n

（3分）?n=8（4分）
（1）設(shè)展開式中的有理項(xiàng)為T_r+1，由Tr+1=

C

r8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r=(

1

2

)r

C

r8

x

16-3r

4

∴r為4的倍數(shù)，又0≤r≤8，∴r=0，4，8．（6分）
Tr+1=

C

r8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r=(

1

2

)r

C

r8

x

16-3r

4

故有理項(xiàng)為：T1=(

1

2

)0

C

08

x

16-3×0

4

=x4，
T5=(

1

2

)4

C

48

x

16-3×4

4

=

35

8

x，
T9=(

1

2

)8

C

88

x

16-3×8

4

=

1

256x2

．（8分）
（2）設(shè)展開式中T_r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則：(

1

2

)r

C

r8

≥(

1

2

)r+1

C

r+18

且(

1

2

)r

C

r8

≥(

1

2

)r-1

C

r-18

（10分）
?r=2或r=3
故展開式中系數(shù)最大項(xiàng)為：T3=(

1

2

)2

C

28

x

16-3×2

4

=7x

5

2

T4=(

1

2

)3

C

38

x

16-3×3

4

=7x

7

4

．（12分）