Question

已知函數(shù)f（x）=

a

•(

b

+

a

)，其中

a

=(coswx，0)，

b

=(

3

sinwx，1)，且w為正實數(shù)．
（1）求f（x）的最小值；
（2）對任意m∈R，函數(shù)y=f（x），x∈[m，m+4π]的圖象與直線2y+1=0有且僅有一個交點，試判斷函數(shù)f（x+

2π

3

）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式，兩角和的正弦公式化簡函數(shù)f（x）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，由此求得它的最小值．
（2）由題意可得，函數(shù)的周期為4π，由此求得ω的值，化簡函數(shù)f（x+

2π

3

）的解析式cos（

1

2

x）+

1

2

，可得函數(shù)為偶函數(shù)．

解答：解：（1）∵

a

=(coswx，0)，

b

+

a

=（

3

siωx+cosωx，1），
函數(shù) f（x）=

a

•(

b

+

a

)=cosωx（

3

sinωx+cosωx）+0=

3

sinωx•cosωx+cos²ωx
=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

．
故函數(shù) f（x）的最小值為-1+

1

2

=-

1

2

．
（2）由題意可得，函數(shù)的周期為4π，故

2π

2ω

=4π，ω=

1

4

．
∴f（x+

2π

3

）=sin（

1

2

x+

π

3

+

π

6

）+

1

2

=cos（

1

2

x）+

1

2

=cos（-

1

2

x）+

1

2

，x∈R，
故函數(shù)f（x+

2π

3

） 為偶函數(shù)．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩角和的正弦公式，余弦函數(shù)的奇偶性，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．