Question

（2012•藍山縣模擬）對于實數(shù)x∈[0，π]，定義符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則方程[2sinx]=[

3

]的解集是

[

π

6

，

π

2

)∪(

π

2

，

5π

6

]

；又方程[2sinx]=[x]的解集是

[0，

π

6

)∪[1，

π

2

)∪(

π

2

，2)

．

Answer 1

分析：（1）由新定義可得：[

3

]=1，于是方程[2sinx]=[

3

]可化為[2sinx]=1，進而得出2sinx 的取值范圍，再結合已知條件x∈[0，π]，求出即可．
（2）對實數(shù)x∈[0，π]，進行恰當分類討論即可．

解答：解：（1）∵[

3

]=1，∴[2sinx]=1，∴1≤2sinx＜2，
∴

1

2

≤sinx＜1，又實數(shù)x∈[0，π]，解得x∈[

π

6

，

π

2

)∪(

π

2

，

5π

6

]，
∴方程[2sinx]=[

3

]的解集是[

π

6

，

π

2

)∪(

π

2

，

5π

6

]．
故答案為[

π

6

，

π

2

)∪(

π

2

，

5π

6

]．
（2）對實數(shù)x∈[0，π]，進行以下分類：
①當0≤x＜1時，[x]=0，[2sinx]=0，∴0≤2sinx＜1，∴0≤sinx＜

1

2

，及0≤x＜1，解得0≤x＜

π

6

；
②當1≤x＜2時，[x]=1，[2sinx]=1，∴1≤2sinx＜2，∴

1

2

≤sinx＜1，及1≤x＜2，解得1≤x＜

π

2

，或

π

2

＜x＜2；
③當x=2時，2sinx＜2，[2]=2，∴2不是方程[2sinx]=[x]的解；
④當2＜x≤π時，2sinx＜2sin

π

2

=2，[x]≥2，此時方程[2sinx]=[x]無解．
綜上可知：方程[2sinx]=[x]的解集是[0，

π

6

)∪[1，

π

2

)∪(

π

2

，2)．
故答案為[0，

π

6

)∪[1，

π

2

)∪(

π

2

，2)．

點評：理解新定義和對x正確分類討論是解題的關鍵．