Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=

2

，側(cè)棱CC1=

3

，點(diǎn)D是A₁B₁的中點(diǎn)，則異面直線B₁C與AD所成的角的余弦值是

2 5

5

．

Answer 1

分析：取AB的中點(diǎn)為E，連接EB₁，EC，根據(jù)題意可得：AD∥B₁E，所以異面直線B₁C與AD所成的角等于直線B₁E與直線B₁C所成的角相等，即∠CB₁E為所求，再利用解三角形的有關(guān)知識求出兩條異面直線夾角的余弦值．

解答：解：取AB的中點(diǎn)為E，連接EB₁，EC，
因?yàn)辄c(diǎn)D、E分別是A₁B₁，AB的中點(diǎn)，
所以AD∥B₁E，
所以異面直線B₁C與AD所成的角等于直線B₁E與直線B₁C所成的角相等，即∠CB₁E為所求．
因?yàn)榈酌鍭BC是等腰直角三角形，且AC=BC=

2

，
所以EC=1，并且BE=1，
又因?yàn)閭?cè)棱CC1=

3

，
所以B₁E=2，并且B₁C=

5

所以在△AB₁C中由勾股定理可得：∠B₁EC=90°，
所以cos∠CB₁E=

EB1

CB1

=

2

5

=

2 5

5

．
故答案為：

2 5

5

．

點(diǎn)評：本題主要考查空間中異面直線的夾角，求解空間角的一般步驟是：找角，證角，求角三步，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征．