Question

【題目】已知橢圓C：的離心率，左、右焦點分別為，拋物線的焦點F恰好是該橢圓的一個頂點．

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知圓M：的切線與橢圓相交于A、B兩點，那么以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點？如果是，求出定點的坐標(biāo)；如果不是，請說明理由，

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的方程確定橢圓的頂點，結(jié)合離心率可得a、b的值，進而求得橢圓的方程；

（2）首先利用特殊情況確定點的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線和圓、橢圓的位置關(guān)系驗證以AB為直徑的圓是否過定點.

（1）因為橢圓的離心率，所以，即．

因為拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點，

所以，所以．所以橢圓的方程為．

（2）（i）當(dāng)直線的斜率不存在時．

因為直線與圓相切，故其中的一條切線方程為．

由，不妨設(shè)，，

則以為直徑的圓的方程為．

（ii）當(dāng)直線的斜率為零時．

因為直線與圓相切，所以其中的一條切線方程為．

由，不妨設(shè)，，

則以為直徑的圓的方程為．

顯然以上兩圓都經(jīng)過點．

（iii）當(dāng)直線的斜率存在且不為零時．

設(shè)直線的方程為．

由消去，得，

所以設(shè)，，則，．

所以．

所以．①

因為直線和圓相切，所以圓心到直線的距離，

整理，得， ②

將②代入①，得，顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點，

綜上可知，以為直徑的圓過定點．