Question

已知橢圓 (a>b>0)，A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x₀，0)．證明．

Answer 1

證明見解析

本小題考查橢圓性質、直線方程等知識，以及綜合分析能力．
證法一：設A、B的坐標分別為(x₁，y₁)和(x₂，y₂)．因線段AB的垂直平分線與x軸相交，故AB不平行于y軸，即x₁≠x₂．又交點為P(x₀，0)，故|PA|=|PB|，即
(x₁－x₀)²+=(x₂－x₀)²+    ①
∵   A、B在橢圓上，∴，．
將上式代入①，得2(x₂－x₁) x₀=    ②
∵   x₁≠x₂，可得        ③
∵   －a≤x₁≤a，－a≤x₂≤a，且x₁≠x₂，∴ －2a<x₁+x₂<2a，
∴   
證法二：設A、B的坐標分別為(x₁，y₁)和(x₂，y₂)．因P(x₀，0)在AB的垂直平分線上，以點P為圓心，|PA|=r為半徑的圓P過A、B兩點，圓P的方程為(x－x₀)²+y²=r²，
與橢圓方程聯(lián)立，消去y得(x－x₀)²x²=r²－b²，
∴  ①
因A、B是橢圓與圓P的交點，故x₁，x₂為方程①的兩個根．由韋達定理得
x₁+x₂=x₀．
因－a≤x₁≤a，－a≤x₂≤a，且x₁≠x₂，故－2a<x₁+x₂=x₀<2a，
∴