Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}，{b_n}前n項(xiàng)和S_n，T_n滿足，且，S₂=6；函數(shù)，且c_n=g（c_n-1）（n∈N，n＞1），c₁=1．
（1）求A；
（2）求數(shù)列{a_n}及{c_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等差中項(xiàng)的概念，把轉(zhuǎn)化為，結(jié)合得到，從而A的值可求；
（2）由A=1，可令S_n=kn（n+1），由S₂=6求出k，則S_n可求，分n=1和n≥2求得a_n．把給出的c_n=g（c_n-1）變形，得到數(shù)列{c_n+1}是為公比，以c₁+1=2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出c_n+1，從而得到c_n；
（3）分n=2k和n=2k+1兩類(lèi)寫(xiě)出d₁+d₂+…+d_n，然后利用分組求和．
解答：解：（1）∵{a_n}，{b_n}是等差數(shù)列，
由，得，
而，
∴，解得A=1；
（2）令S_n=kn（n+1），∵S₂=6，得6k=6，k=1，即．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
該式對(duì)n=1時(shí)成立，所以a_n=2n；
由題意，變形得（n≥2），
∴數(shù)列{c_n+1}是為公比，以c₁+1=2為首項(xiàng)的等比數(shù)列．
，即；
（3）當(dāng)n=2k+1時(shí)，d₁+d₂+…+d_n=（a₁+a₃+…a_2k+1）+（c₂+c₄+…+c_2k）
=[2+6+10+…+2（2k+1）]+[（1-1）+（）+…+（）]
=
=．
當(dāng)n=2k時(shí)，d₁+d₂+…+d_n=（a₁+a₃+…a_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k）
=[2+6+10+…+2（2k-1）]+[（1-1）+（）+…+（）]
=．
綜上：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差關(guān)系的確定，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)概念，訓(xùn)練了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了數(shù)列的分組求和及等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，是中檔題．