Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+b同時(shí)滿足條件f（0）=2和對(duì)任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）-1成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=

1，x∈[0，1] f(log2x)-4，x∈(1，+∞)

，求使得g[g（x）]=1成立的整數(shù)x的取值的集合．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=2及f（x+1）=2f（x）-1恒成立，可以構(gòu)造方程組可求出a，b值，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（2）根據(jù)（1）及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得g（x）=

1，x∈[0，1] x-3，x∈(1，+∞)

，由g[g（x）]=1分類討論，結(jié)合x為整數(shù)，可得答案．

解答：解：（1）由f（0）=2得1+b=2，
解得b=1
∴f（x）=a^x+1
∵對(duì)任意x∈R都有f（x+1）=2f（x）-1
∴a^x+1+1=2a^x+1
∴a=2
∴f（x）=2^x+1…（4分）
（2）由（1）知f（log₂x）=2log2x+1=x+1，
故g（x）=

1，x∈[0，1] x-3，x∈(1，+∞)

，…（5分）
∵g[g（x）]=1
∴0≤g（x）≤1或g（x）=4
∴0≤x≤1或0≤x-3≤1或x-3=4
∴0≤x≤1或3≤x≤4或x=7，
又∵x為整數(shù)，
故所求整數(shù)x的取值的集合為{0，1，3，4，7}．…（9分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中根據(jù)已知求出函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵．