Question

 

（本題滿分15分）已知數(shù)列中，，（n∈N*），

   （1）試證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；

   （2）在數(shù)列{}中，求出所有連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列的項(xiàng)；

   （3）在數(shù)列{}中，是否存在滿足條件1＜r＜s的正整數(shù)r ，s ，使得b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列？若存在，確定正整數(shù)r，s之間的關(guān)系；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）有且僅有連續(xù)三項(xiàng)b₂，b₃，b₄成等差數(shù)列

（3）存在不小于4的正偶數(shù)s，且s＝r＋1，使得b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列

【解析】    解：（1）證明: 由，得a_n＋1＝2ⁿ—a_n，

    ∴,

    ∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列．………………3分

    ∴ , 即，

    ∴…………………………………………………………………………5分

   （2）解：假設(shè)在數(shù)列{b_n}中，存在連續(xù)三項(xiàng)b_k－1，b_k，b_k＋1（k∈N*, k≥2）成等差數(shù)列，則b_k－1＋b_k＋1＝2b_k，即，

    即＝4………………………………………………………………7分

    若k為偶數(shù)，則＞0，4＝－4＜0，所以，不存在偶數(shù)k，使得

    b_k－1，b_k，b_k＋1成等差數(shù)列�！�………………………………………………………8分

    若k為奇數(shù)，則k≥3，∴≥4，而4＝4，所以，當(dāng)且僅當(dāng)k＝3時(shí)，

    b_k－1，b_k，b_k＋1成等差數(shù)列。

    綜上所述，在數(shù)列{b_n}中，有且僅有連續(xù)三項(xiàng)b₂，b₃，b₄成等差數(shù)列�！�………10分

   （3）要使b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列，只需b₁＋b_s＝2 b_r，

    即3＋＝2[],即， ①

   （�。┤�s＝r＋1，在①式中，左端＝0，右端＝，要使①式成立，當(dāng)且僅當(dāng)s為偶數(shù)時(shí)成立。又s＞r＞1，且s，r為正整數(shù)，所以，當(dāng)s為不小于4的正偶數(shù)，且s＝r＋1時(shí)，b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列�！�…………………………………………………………13分

   （ⅱ）若s≥r＋2時(shí)，在①式中，左端≥＝＞0，右端≤0，∴當(dāng)s≥r＋2時(shí)，b₁，b_r，b_s不成等差數(shù)列。

    綜上所述，存在不小于4的正偶數(shù)s，且s＝r＋1，使得b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列。…15分