Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，，是它的兩個頂點，直線與直線相交于點，與橢圓相交于，兩點．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程;

（Ⅱ）若，求k的值；

（Ⅲ）求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）直接由題可得，可得橢圓方程；

（Ⅱ）由題，寫出直線，的方程，設，由題可得

，再可得，即可求得k的值；

（Ⅲ）利用點到直線的距離公式求得到的距離，再求得AB的長，再利用四邊形的面積公式和基本不等式可求得面積的最值.

（Ⅰ）解：依題易知橢圓的長半軸為，短半軸為

所以橢圓的方程為

（Ⅱ）直線，的方程分別為．如圖，設，其中，且滿足方程，

故．①

由知，得；

由在上知，得．

所以，解得或，

（Ⅲ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，

又，所以四邊形的面積為

，

當，即當時，上式取等號．所以的最大值為 ．