Question

設(shè)曲線C：x²-y²=1上的點(diǎn)P到點(diǎn)A_n（0，a_n）的距離的最小值為d_n，若a=0，a_n=d_n-1，n∈N*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)點(diǎn)B_n（a_n，a_n+1）到直線l_n：x-y+=0的距離為t_n，證明：對?n∈N*，都有不等式：t₁+t₂+…+t_n＜成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式，采用配方法可得d_n=，再根據(jù)a_n=d_n-1，可得d_n=，從而可得數(shù)列{}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先證明t_n=，進(jìn)而疊加，利用放縮法，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：設(shè)點(diǎn)P（x，y），則x²-y²=1，所以|PA_n|===，
因?yàn)閥∈R，所以當(dāng)y=時(shí)，|PA_n|取得最小值d_n，且d_n=，
又a_n=d_n-1，∴a_n+1=d_n，∴d_n=
∴
兩邊平方得-=2，又a=0，∴=2
故數(shù)列{}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，所以=2n，
∵a_n＞0，∴；
（2）證明：==
∴t_n=
∴t₁+t₂+…+t_n=1-+++…+
∵
∴+…+＜-1+-+…+-=-1
∴t₁+t₂+…+t_n＜1-++-1＜．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查放縮法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)目標(biāo)，適當(dāng)放縮，難度較大．