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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知函數f(x)=ax_3+bx2+(b-a)x(a,b是不同時為零的常數),其導函數為f′(x).
          (1)當a=時,若不等式f'(x)>-對任意x∈R恒成立,求b的取值范圍;
          (2)若函數f(x)為奇函數,且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0,討論關于x的方程f(x)=k在[-1,+∞)上實數根的情況.
          【答案】分析:(1)求導函數,利用不等式f'(x)>-對任意x∈R恒成立,可得x2+2bx+b>0恒成立,利用判別式可得b的取值范圍;
          (2)利用函數f(x)為奇函數,函數f(x)在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0,求出函數解析式,從而確定函數的單調性,求出函數的極值,再分類討論,即可得到結論.
          解答:解:(1)當a=時,f′(x)=x2+2bx+b-,
          依題意f′(x)=x2+2bx+b-,即x2+2bx+b>0恒成立
          ∴△=4b2-4b<0,解得0<b<1
          所以b的取值范圍是(0,1);
          (2)∵函數f(x)為奇函數,∴f(-x)=-f(x),∴b=0,∴函數f(x)=ax3-ax
          ∴f′(x)=3ax2-a
          ∵函數f(x)在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0
          ∴a=1
          ∴f(x)=x3-x,f′(x)=3x2-1
          ∴f(x)在(-∞,-),(,+∞)上單調遞增,在(-)上單調遞減
          由f(x)=0得x=±1,x=0
          f(x)在[-1,+∞)上圖象如圖所示
          ∵f()=,f()=-,
          ∴當k<-時,f(x)=k在[-1,+∞)上沒有實數根;
          當k>或k=-時,f(x)=k在[-1,+∞)上有且只有一個實數根;
          當k=或-<k<0時,f(x)=k在[-1,+∞)上有兩個實數根;
          當0<k<時,f(x)=k在[-1,+∞)上有三個實數根.
          點評:本題考查導數知識的運用,考查函數的單調性與極值,考查分類討論的數學思想,考查方程根的討論,屬于中檔題.
          練習冊系列答案
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