Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為邊長為2的菱形，，，為的中點，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）連接，交于點，連接，然后利用中位線定理和線面平行的判定定理證明即可；

（Ⅱ）建立如圖所示空間直角坐標系，先求出點坐標，求出直線的方向向量和平面的法向量，然后利用空間向量的夾角公式求解．

解：（Ⅰ）證明：連接，交于點，連接，則，因為平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系，

則易知，，，，設,

因為，所以,

由，解得,即，

則，

則，

因為，，

設平面的一個法向量為,

則,取,則,

所以平面的一個法向量為，

設直線與平面所成的角為，

則．

【名師指導】

本題考查空間中直線與平面的平行關系、直線與平面所成角、空間法向量的應用．求空間角，常常建立空間直角坐標系，用空間向量法計算，可減少邏輯思維量，但對計算能力要求較高．