Question

對(duì)于一個(gè)函數(shù)f（x），如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)a，b，c都在f（x）的定義域內(nèi)，就有f（a），f（b），f（c）也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱f（x）為“保三角形函數(shù)”．則下列函數(shù)：①f（x）=x②f（x）=x²③f（x）=sinx，x∈（0，

π

4

）④f（x）=cosx，x∈（0，

π

4

）是“保三角形函數(shù)”的是

①③④

（寫(xiě)出正確的序號(hào)）

Answer 1

分析：欲判斷三個(gè)函數(shù)f（x）是不是“保三角形函數(shù)”，只須任給三角形，設(shè)它的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設(shè)a≤c，b≤c，我們判斷f（a），f（b），f（c）是否滿足任意兩數(shù)之和大于第三個(gè)數(shù)，即任意兩邊之和大于第三邊即可．

解答：解：任給三角形，設(shè)它的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則a+b＞c，不妨假設(shè)a≤c，b≤c，
若f（x）=x由于f（a）+f（b）=a+b＞c=f（c），所以f（x）=x是“保三角形函數(shù)”．
對(duì)于f（x）=x²，3，3，5可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，但3²+3²＜5²，
所以不存在三角形以3²，3²，5²為三邊長(zhǎng)，故f₃（x）不是“保三角形函數(shù)”．
對(duì)于f（x）=sinx，x∈（0，

π

4

），∴

π

2

＞a+b＞c＞0，f（a）+f（b）=sina+sinb＞sinc=f（c）
所以f（x）=sinx，x∈（0，

π

4

）是“保三角形函數(shù)”．
對(duì)于f（x）=cosx，x∈（0，

π

4

），a≤c，b≤c，cosb＞cosc∴f（a）+f（b）=cosa+cosb＞cosc=f（c）
所以f（x）=cosx，x∈（0，

π

4

）是“保三角形函數(shù)”．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：要想判斷f（x）為“保三角形函數(shù)”，要經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的論證說(shuō)明f（x）滿足“保三角形函數(shù)”的概念，但要判斷f（x）不為“保三角形函數(shù)”，僅須要舉出一個(gè)反例即可．