Question

已知兩定點(diǎn)F₁(-，0)、F₂(，0)，滿(mǎn)足條件||-||=2的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn).

(1)求k的取值范圍；

(2)如果|AB|=6，且曲線E上存在點(diǎn)C，使+=m,求m的值和△ABC的面積S.

Answer 1

解：（1）由雙曲線的定義可知，曲線E是以F₁（-，0）、F₂（，0）為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且c=2,a=1,易知b=1.

故曲線E的方程為x²-y²=1(x＜0).

設(shè)A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),由題意建立方程組

消去y,得(1-k²)x²+2kx-2=0.

又已知直線與雙曲線左支交于A、B兩點(diǎn)，有

解得-＜k＜-1.

(2) 因?yàn)閨AB|=|x₁-x₂|

2

依題意得=63.

整理后得28k⁴-55k²+25=0.

∴k²=或k²=.

但-＜k＜-1,∴k=-.

故直線AB的方程為x+y+1=0.

設(shè)C（x_c,y_c），由已知+=m,得（x₁,y₁）+(x₂,y₂)=(mx_C,my_C),

∴(x_C,y_C)=(m≠0).

又x₁+x₂==-4,y₁+y₂=k(x₁+x₂)-2=-2==8,

∴點(diǎn)C().

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入曲線E的方程，得=1.

得m=±4.但當(dāng)m=-4時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意.

∴m=4,C點(diǎn)坐標(biāo)為（-，2）.

C到AB的距離為

∴△ABC的面積S=