Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上任意一點到兩焦點距離之和為2

3

，離心率為

3

3

，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P是右準線上任意一點，過F₂作直線PF₂的垂線F₂Q交橢圓于Q點．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）證明：直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值；
（3）點P的縱坐標為3，過P作動直線l與橢圓交于兩個不同點M、N，在線段MN上取點H，滿足

MP

PN

=

MH

HN

，試證明點H恒在一定直線上．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

2a=2 3 e= c a = 3 3 a2=b2+c2

，解出即可；
（2）由（1）可知：橢圓的右準線方程為x=

a2

c

=3，設P（3，y₀），Q（x₁，y₁），由PF₂⊥F₂Q，可得kQF2•kPF2=-1，利用斜率計算公式可得k_PQ•k_OQ及

y

2 1

=2(1-

x 2 1

3

)代入化簡得直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值．
（3）設過P（3，3）的直線l與橢圓交于兩個不同點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），點H（x，y），由點M，N在橢圓上可得2

x

2 1

+3

y

2 1

=6，2

x

2 2

+3

y

2 2

=6．
設

MP

PN

=

MH

HN

=λ，則

MP

=-λ

PN

，

MH

=λ

NH

，可得（3-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-3，y₂-3），（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y），即可證明6x+9y為定值．

解答：解：（1）由題意可得

2a=2 3 e= c a = 3 3 a2=b2+c2

，解得a=

3

，c=1，b=

2

所以橢圓E：

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）由（1）可知：橢圓的右準線方程為x=

a2

c

=3，
設P（3，y₀），Q（x₁，y₁），
因為PF₂⊥F₂Q，所以kQF2kPF2=

y0

2

•

y1

x1-1

=

y0y1

2(x1-1)

=-1，
所以-y₁y₀=2（x₁-1）
又因為kPQ•kOQ=

y1

x1

•

y1-y0

x1-3

=

y 2 1 -y1y0

x 2 1 -3x1

且

y

2 1

=2(1-

x 2 1

3

)代入化簡得kPQ•kOQ=-

2

3

．
即直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值-

2

3

．
（3）設過P（3，3）的直線l與橢圓交于兩個不同點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），點H（x，y），
則2

x

2 1

+3

y

2 1

=6，2

x

2 2

+3

y

2 2

=6．
設

MP

PN

=

MH

HN

=λ，則

MP

=-λ

PN

，

MH

=λ

NH

，
∴（3-x₁，3-y₁）=-λ（x₂-3，y₂-3），（x-x₁，y-y₁）=λ（x₂-x，y₂-y）
整理得3=

x1-λx2

1-λ

，x=

x1+λx2

1+λ

，3=

y1-λy2

1-λ

，y=

y1+λy2

1+λ

，
∴從而3x=

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

，3y=

y 2 1 -λ2 y 2 2

1-λ2

，
由于2

x

2 1

+3

y

2 1

=6，2

x

2 2

+3

y

2 2

=6，∴我們知道

x

2 1

與

y

2 1

的系數(shù)之比為2：3，

x

2 2

與

y

2 2

的系數(shù)之比為2：3．
∴6x+9y=

2 x 2 1 -2λ2 x 2 2 +3 y 2 1 -3λ2 y 2 2

1-λ2

=

2 x 2 1 +3 y 2 1 -λ2(2 x 2 2 +3 y 2 2 )

1-λ2

=6，
所以點H恒在直線2x+3y-2=0上．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、向量運算、斜率計算公式等基礎知識與基本技能，考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力．