Question

已知復(fù)數(shù)z=i，ω=i.復(fù)數(shù)z，z²ω³在復(fù)數(shù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)分別是P、Q.證明：△OPQ是等腰直角三角形（其中O為原點(diǎn)）.

Answer 1

答案：
解析：

證明：證法一： ω= 于是zω=cos+isin， =cos（－）+isin（－）. z2ω3=［cos（－）+isin（－）］×（cosπ+isinπ）=cosπ+isinπ 因為OP與OQ的夾角為π－（－）=. 所以OP⊥OQ 又因為|OP|=||=1，|OQ|=|z2ω3|=|z|2|ω|3=1 ∴|OP|=|OQ|. 由此知△OPQ為等腰直角三角形. 證法二：∵z=cos（－）+isin（－）. ∴z3=－i 又ω=. ∴ω4=－1 于是 由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ| 故△OPQ為等腰直角三角形.