Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)其中，

（I）若求的值；（4分）         

（Ⅱ）在（I）的條件下，若函數(shù)的圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，

①       求函數(shù)的解析式；（4分）②求最小正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù).（4分）

 

Answer 1

【答案】

（I）. （Ⅱ）最小正實(shí)數(shù)。

【解析】

試題分析：（I）利用特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)cos cosφ-sin ，sinφ=0，根據(jù)|φ|＜ ，直接求出φ的值；

（Ⅱ）解法一：在（I）的條件下，若函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于，求出周期，求出ω，得到函數(shù)f（x）的解析式；函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．推出m=  (k∈Z)，可求最小正實(shí)數(shù)m．

解法二：在（I）的條件下，若函數(shù)f（x）的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離等于

，求出周期，求出ω，得到函數(shù)f（x）的解析式；利用g（x）是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)g（-x）=g（x）對(duì)x∈R恒成立，使得函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．化簡(jiǎn)cos(3m+ )=0，然后再求最小正實(shí)數(shù)m．

解法一：（I）由得……2分

即又.………………4分

（Ⅱ）①由（I）得，………………5分

依題意，又.………………7分

故……………………8分

②函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為…9分

是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)………………10分

即，從而，最小正實(shí)數(shù).……………………12分

解法二：（I）同解法一………………4分

（Ⅱ）由（I）得，    依題意，

又，故………………8分

函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為 

是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)恒成立……………9分

亦即對(duì)恒成立。

即對(duì)恒成立。……………………10分

故……………………11分

從而，最小正實(shí)數(shù)……………………12分

考點(diǎn)：本試題主要考查了三角函數(shù)的字母變量的求法，三角函數(shù)的圖象的平移，偶函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是常考題，中檔試題。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用兩角和差的公式得到第一問(wèn)的值，對(duì)于第二問(wèn)，要熟練運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)得到。