Question

（2012•莆田模擬）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₂=2，S₄=4，等式a_n+a_n+2=2a_n+1對(duì)任意n∈N^*恒成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)

u

=（4，S₂），

v

=（4k，-S₃），若

u

∥

v

，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（1）利用等式a_n+a_n+2=2a_n+1對(duì)任意n∈N^*恒成立，確定數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由a₂=2，S₄=4，建立方程組，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）由（1）知Sn=

4+(-2n+6)

2

×n=-n2+5n，利用

u

∥

v

建立等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）∵等式a_n+a_n+2=2a_n+1對(duì)任意n∈N^*恒成立
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d
∵a₂=2，S₄=4
∴

a1+d=2 4a1+6d=4

∴

a1=4 d=-2

∴a_n=4+（n-1）×（-2）=-2n+6；
（2）由（1）知Sn=

4+(-2n+6)

2

×n=-n2+5n
∴S₂=6，S₃=6
∴

u

=(4，6)，

v

=(4k，-6)
∵

u

∥

v

∴4×6+6×4k=0
∴k=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的判定，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，求得數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．