Question

（2013•廣東模擬）已知橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)A（1，0），一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A、B構(gòu)成等邊三角形．
（I） 求橢圓C₁的方程；
（II） 設(shè)點(diǎn)P是拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）與C₁的公共點(diǎn)，C₂在點(diǎn)P處的切線與C₁交于點(diǎn)另一點(diǎn)M．Q是P關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)，問中否存在h使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)A（1，0），一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A、B構(gòu)成等邊三角形，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓C₁的方程；
（II）假設(shè)存在h使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上，利用

QP

•

QM

=0，

QM

∥

OA

，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）由題意，∵橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)A（1，0），一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A、B構(gòu)成等邊三角形
∴b=1，2•

b2

a

=1
∴a=2，b=1
∴所求的橢圓方程為

y2

4

+x2=1，
（II）不妨設(shè)P（t，t²+h），M（x₀，y₀），則（t²+h）²+4t²-4=0（1）
假設(shè)存在h使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上，則

QP

•

QM

=0
∵

QM

∥

OA

∴M（-t，-t²-h），∴2t=

t2+h

t

∴h=t²＞0
代入（1）得h²+h-1=0
∴h=

5 -1

2

  
∴存在h=

5 -1

2

，使點(diǎn)Q在以PM為直徑的圓上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓的幾何性質(zhì)，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求得橢圓的方程是關(guān)鍵．