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        1. 已知m>1,直線l:x-my-
          m2
          2
          =0,橢圓C:
          x2
          m2
          +y2=1,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).
          (Ⅰ)當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時,求直線l的方程;
          (Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G、H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.
          分析:(1)把F2代入直線方程求得m,則直線的方程可得.
          (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).直線與橢圓方程聯(lián)立消去x,根據(jù)判別式大于0求得m的范圍,且根據(jù)韋達(dá)定理表示出y1+y2和y1y2,根據(jù)
          AG
          =2
          GO
          ,
          BH
          =2
          H0
          ,可知G(
          x1
          3
          ,
          y1
          ,3
          ),h(
          x2
          3
          ,
          y,2
          ,3
          ),表示出|GH|2,設(shè)M是GH的中點(diǎn),則可表示出M的坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)2|MO|<|GH|整理可得x1x2+y1y2<0把x1x2和y1y2的表達(dá)式代入求得m的范圍,最后綜合可得答案.
          解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)解:因為直線l:x-my-
          m2
          2
          =0,經(jīng)過F2
          m2-1
          ,0),
          所以
          m2-1
          =
          m2
          2
          ,得m2=2,
          又因為m>1,所以m=
          2

          故直線l的方程為x-
          2
          y-1=0.
          (Ⅱ)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
          x=my+
          m2
          2
          x2
          m2
          +y2=1
          ,消去x得
          2y2+my+
          m2
          4
          -1=0
          則由△=m2-8(
          m2
          4
          -1)=-m2+8>0,知m2<8,
          且有y1+y2=-
          m
          2
          ,y1y2=
          m2
          8
          -
          1
          2

          由于F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),故O為F1F2的中點(diǎn),
          AG
          =2
          GO
          BH
          =2
          H0
          ,可知G(
          x1
          3
          y1
          ,3
          ),H(
          x2
          3
          ,
          y2
          3

          |GH|2=
          (x1-x2)2
          9
          +
          (y1-y2)2
          9

          設(shè)M是GH的中點(diǎn),則M(
          x1+x2
          6
          ,
          y1+y2
          6
          ),
          由題意可知2|MO|<|GH|
          即4[(
          x1+x2
          6
          2+(
          y1+y2
          6
          2]<
          (x1-x2)2
          9
          +
          (y1-y2)2
          9
          即x1x2+y1y2<0
          而x1x2+y1y2=(my1+
          m2
          2
          )(my2+
          m2
          2
          )+y1y2=(m2+1)(
          m2
          8
          -
          1
          2

          所以(
          m2
          8
          -
          1
          2
          )<0,即m2<4
          又因為m>1且△>0
          所以1<m<2.
          所以m的取值范圍是(1,2).
          點(diǎn)評:本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知m>1,直線l:x-my-
          m
          2
          2
          =0,橢圓C:
          x2
          m2
          +y2
          =1,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓C的左右焦點(diǎn).設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G,H,若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•成都模擬)已知m>1,直線l:x-my-
          m2
          2
          =0,橢圓C:
          x2
          m2
          +y2=1,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).
          (I)當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時,求直線l的方程;
          (II)當(dāng)直線l與橢圓C相離、相交時,求m的取值范圍;
          (III)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G、H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年四川省成都市高中畢業(yè)班摸底測試數(shù)學(xué)模擬試卷(文科)(高二下期末)(解析版) 題型:解答題

          已知m>1,直線l:x-my-=0,橢圓C:+y2=1,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).
          (Ⅰ)當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時,求直線l的方程;
          (Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G、H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年寧夏銀川二中高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          已知m>1,直線l:x-my-=0,橢圓C:+y2=1,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).
          (Ⅰ)當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時,求直線l的方程;
          (Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G、H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊答案