Question

已知：一窗戶(hù)滿(mǎn)足

0≤x≤1 0≤y≤e-1

（單位m），一蜘蛛在窗戶(hù)上布的蜘蛛網(wǎng)滿(mǎn)足

f(x)=ex-1 y=et-1

（t為常數(shù)，且0≤t≤1），圖象圍成的封閉圖形如圖3中陰影所示．
（1）當(dāng)t變化時(shí)，求蜘蛛捕捉住一只蒼蠅概率的最小值
（2）在（1）條件下若有4只蒼蠅從窗戶(hù)飛過(guò)，ξ表示蜘蛛捕捉到蒼蠅數(shù)，求捕捉到蒼蠅數(shù)分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）窗戶(hù)的最大面積是S_1max=e-1，蜘蛛網(wǎng)的面積S₂=∫₀^t（e^t-e^x）dx+∫_t¹（e^x-e^t）dx=（2t-3）•e^t+e+1，t=

1

2

時(shí)，S_2min=e-2

e

+1．所以當(dāng)t變化時(shí)，求蜘蛛捕捉住一只蒼蠅概率的最小值p=

e-2 e +1

e-1

=

e -1

e +1

．
（2）由題設(shè)知ξ～B（4，

e -1

e +1

），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）∵一窗戶(hù)滿(mǎn)足

0≤x≤1 0≤y≤e-1

（單位m），
∴窗戶(hù)的最大面積是S_1max=e-1，
∵一蜘蛛在窗戶(hù)上布的蜘蛛網(wǎng)滿(mǎn)足

f(x)=ex-1 y=et-1

（t為常數(shù)，且0≤t≤1），
∴蜘蛛網(wǎng)的面積S₂=∫₀^t（e^t-e^x）dx+∫_t¹（e^x-e^t）dx
=[e^tx-e^x]|₀^t+[e^x-e^tx]|_t¹
=e^t•t-e^t+1+e-e^t-e^t+e^tt
=2t•e^t-3e^t+e+1
=（2t-3）•e^t+e+1
∵S₂′=2e^t+（2t-3）e^t，
∴由S₂′=2e^t+（2t-3）e^t=0，得t=

1

2

．
當(dāng)t∈[0，

1

2

)時(shí)，S₂′=2e^t+（2t-3）e^t＜0，
當(dāng)t∈(

1

2

，1]時(shí)，S₂′=2e^t+（2t-3）e^t＞0，
∴t=

1

2

時(shí)，S_2min=e-2

e

+1．
∴當(dāng)t變化時(shí)，求蜘蛛捕捉住一只蒼蠅概率的最小值
p=

e-2 e +1

e-1

=

e -1

e +1

．
（2）由題設(shè)知ξ～B（4，

e -1

e +1

），
∴ξ的分布列是P（ξ=k）=

C

k 4

(

e -1

e +1

)k•(

2

e +1

)4-k，k=0，1，2，3，4．
Eξ=

4 e -4

e +1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，考查學(xué)生探究研究問(wèn)題的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意定積分的靈活運(yùn)用．計(jì)算量大且繁瑣，容易出錯(cuò)，要注意培養(yǎng)計(jì)算能力．