Question

已知y=f（x）是函數(shù)y=

ex

a

（a≠0，a∈R）的反函數(shù)，g(x)=

x-1

x

（Ⅰ）解關(guān)于x的不等式：1+e^f（x）+g（x）＞0；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，過(guò)點(diǎn)（1，-1）是否存在函數(shù)y=f（x）圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若a是使f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立的最小值，試比較

n

k=1

1

1+kλ

與f[（1+n）^λ2^n（1-λ）]的大�。�0＜λ＜1，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）先求出函數(shù)y=

ex

a

（a≠0，a∈R）的反函數(shù)f（x），把f（x）代入化簡(jiǎn)后，再對(duì)a進(jìn)行分類討論，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，則不等式易解；
（Ⅱ）設(shè)出切點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)工具刻畫(huà)出函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而得出切線的情況；
（Ⅲ）把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)求解a值，再利用

1+kλ

2

≤(

1+k

2

)λ，即1+k^λ≤2^1-λ（1+k）^λ，來(lái)進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）由已知可得f（x）=lnax，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）
①當(dāng)a＞0時(shí)，x＞0，原不等式等價(jià)于：1+ax+

x-1

x

＞0?ax²+2x-1＞0，
可得  x∈(

a+1 -1

a

，+∞)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，x＜0，原不等式等價(jià)于：1+ax+

x-1

x

＜0?ax²+2x-1＜0，
可得  x∈（-∞，0）．                  （4分）
（2）設(shè)y=f（x）圖象上的切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，f（x₀）），顯然x₀≠1，
可得f′(x0)=

1

x0

=

lnx0

x0-1

⇒lnx0=-

1

x0

，
設(shè)h(x0)=lnx0+

1

x0

(x0＞0，x0≠1)，h′(x0)=

x0-1

x0

，
可得h（x₀）在（1，+∞）為增區(qū)間；（0，1）為減區(qū)間，h（x₀）＞h（1）=1
所以h（x₀）=0沒(méi)有實(shí)根，故不存在切線．（9分）
（3）∵lnax≥

x-1

x

對(duì)x≥1恒成立，所以lna+lnx≥

x-1

x

⇒lna≥1-

1

x

-lnx，
令h(x)=1-

1

x

-lnx，h′(x)=

1

x2

-

1

x

≤0(x≥1)，可得h（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減，
故lna≥h（1）=0，a_min=1．得lnx≥

x-1

x

(x≥1)，f（x）=lnx．
令x=

1+kλ

kλ

(k∈N*)，ln(1+kλ)-lnkλ＞

1

1+kλ

，
而

1+kλ

2

≤(

1+k

2

)λ，即1+k^λ≤2^1-λ（1+k）^λ，
所以

1

1+kλ

＜ln(1+kλ)-lnkλ≤ln(1+k)λ-lnkλ+ln21-λ，

n

k=1

1

1+kλ

＜ln(1+n)λ+nln21-λ=f[（1+n）^λ2^n（1-λ）]．               （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合，涉及不等式的解法和函數(shù)恒成立問(wèn)題以及切線問(wèn)題，屬中檔題．