Question

設，其中f（x）=lnx．
（Ⅰ）若g（x）在其定義域內為增函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍；
（Ⅱ）證明：f（x）≤x-1；
（Ⅲ）證明：．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵（x＞0），
∴．（1分）
令h（x）=px²-2x+p，要使g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
只需h（x）在（0，+∞）上滿足：h（x）≥0恒成立，
即px²-2x+p≥0．即 上恒成立．
又∵，（4分）
∴p≥1．（5分）

（Ⅱ）證明：要證lnx≤x-1，
即證lnx-x+1≤0（x＞0），
設k（x）=lnx-x+1，．（6分）
當x∈（0，1]時，k'（x）＞0，∴k（x）為單調遞增函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時，k'（x）＜0，∴k（x）為單調遞減函數(shù)；
∴k（x）_max=k（1）=0．（9分）
即lnx-x+1≤0，∴l(xiāng)nx≤x-1．（10分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知lnx≤x-1，又x＞0，
∴．
∵n∈N^*，n≥2，可令x=n²，得．（12分）
∴．
∴=
=
==．（14分）
分析：（Ⅰ）要使g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，它的導數(shù)大于0即可，即 上恒成立，利用
基本不等式求出的最大值，p應大于或等于此最大值．
（Ⅱ）只要證明k（x）=lnx-x+1≤0即可，利用它的導數(shù)求出函數(shù)k（x）的最大值為0，可以得出結論．
（Ⅲ）因為 lnx≤x-1，又x＞0，換元可得 ，即 ，利用此不等式
化簡要證的不等式的左邊，再用放縮法可證它小于不等式的右邊．
點評：本題考查利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、求函數(shù)的最值，以及利用放縮法證明不等式．