Question

已知拋物線y²=4x與橢圓x²+

y2

a2

=1（a＞1）交于A、B兩點，點F為拋物線的焦點，若∠AFB=120°，則橢圓的離心率為（　　）

• A．

  3

  3

• B．

  6

  6

• C．

  6

  3

• D．

  6

  2

Answer 1

分析：先根據(jù)題意畫出圖形，再由橢圓和拋物線的對稱性，求出∠AFD=60°，由拋物線y²=4x（p＞0）求焦點F坐標，再設(shè)AF=2m，利用三角函數(shù)用m表示出AD和FD，再根據(jù)點F得位置進行分類，表示出A的坐標，代入拋物線和橢圓方程求出m和a的值，再由a、b、c和定義求得橢圓的離心率．

解答：解：由題意畫出如圖形如下：設(shè)AB于x軸的交點是D，
∵y²=4x，∴焦點F（1，0），
由橢圓和拋物線的對稱性得，AB⊥x軸，∠AFD=60°，
設(shè)AF=2m（m＞0），在RT△AFD中，F(xiàn)D=m，AD=

3

m，
（1）當點F在橢圓的內(nèi)部時，由圖得A（1+m，

3

m），代入y²=4x得，3m²-4m-4=0，
解得，m=2或-

2

3

（舍去），則A（3，2

3

），把點A代入x²+

y2

a2

=1，解得：無解；
（2）當點F在橢圓的外部時，由圖得有A（1-m，

3

m），代入y²=4x得，3m²+4m-4=0，
解得，m=

2

3

或-2（舍去），則A（

1

3

，

2 3

3

），把點A代入x²+

y2

a2

=1，
解得a²=

3

2

，故c²=a²-1=

1

2

，
∴e=

c

a

=

1

3

=

3

3

．
故選A．

點評：本題考查了橢圓與拋物線的綜合問題．在求橢圓的離心率時，一般是求出a和c，也可以先求出b和c或a，b；再利用a，b，c之間的關(guān)系來求離心率e，本題易錯的地方是對應(yīng)焦點F的位置忘記分類討論．