Question

已知M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：||PM|-|PN||=2．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）記點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過(guò)點(diǎn)N作方向向量為（-1，-1）的直線l，它與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)系雙曲線的第一定義，半焦距c=2，實(shí)半軸a=1，從而虛半軸b=

3

，故可求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)直線l方向向量為（-1，-1），可求直線L的方程為：y=x-2，直線l與曲線C的方程

y=x-2  x2- y2 3 =1

可得：2x²+4x-7=0，利用韋達(dá)定理得x₁+x₂=-2，x1x2=-

7

2

，從而可求|AB|，再求出O點(diǎn)到直線l的距離，即可求出△AOB的面積．

解答：解：（1）由雙曲線的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)2a=2的雙曲線．
因此半焦距c=2，實(shí)半軸a=1，從而虛半軸b=

3

，
所以雙曲線的方程為x2-

y2

3

=1
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）    
∵直線l方向向量為（-1，-1），
∴直線l的斜率k=1
故直線l的方程為：y=x-2      
聯(lián)立直線l與曲線C的方程

y=x-2  x2- y2 3 =1

可得：2x²+4x-7=0
∴x₁+x₂=-2，x1x2=-

7

2

于是|AB|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=6
又O點(diǎn)到直線l的距離為：d=

|-2|

2

=

2

∴S△AOB=

1

2

d×|AB|=3

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用雙曲線的定義求軌跡方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用韋達(dá)定理求|AB|