【題目】已知函數(shù),
,則方程
所有根的和等于( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)
對稱,易知函數(shù)
在定義域
上單調(diào)遞增.由函數(shù)
的圖象關(guān)于原點(diǎn)
對稱,得函數(shù)
的圖象關(guān)于點(diǎn)
對稱,且函數(shù)
在定義域
上單調(diào)遞增. 又
是方程
的一個(gè)根. 當(dāng)
時(shí),令
,根據(jù)零點(diǎn)存在定理和
的單調(diào)性,知
在
上有且只有一個(gè)零點(diǎn)
,即方程
在
上有且只有一個(gè)根
.
根據(jù)圖象的對稱性可知方程在
上有且只有一個(gè)根
,且
.即可求出方程
所有根的和.
設(shè)點(diǎn)是函數(shù)
圖象上任意一點(diǎn),它關(guān)于點(diǎn)
的對稱點(diǎn)為
,
則,代入
,
得.
函數(shù)
的圖象與函數(shù)
的圖象關(guān)于點(diǎn)
對稱,
即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)
對稱,易知函數(shù)
在定義域
上單調(diào)遞增.
又函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)
對稱,
函數(shù)
的圖象關(guān)于點(diǎn)
對稱,且函數(shù)
在定義域
上單調(diào)遞增.
又是方程
的一個(gè)根.
當(dāng)時(shí),令
,則
在
上單調(diào)遞減.
,
根據(jù)零點(diǎn)存在定理,可得在
上有一個(gè)零點(diǎn)
,根據(jù)
的單調(diào)性知
在
上有且只有一個(gè)零點(diǎn)
,即方程
在
上有且只有一個(gè)根
.
根據(jù)圖象的對稱性可知方程在
上有且只有一個(gè)根
,且
.
故方程所有根的和等于
.
故選:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為
,
軸上方的點(diǎn)
在拋物線上,且
,直線
與拋物線交于
,
兩點(diǎn)(點(diǎn)
,
與
不重合),設(shè)直線
,
的斜率分別為
,
.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證:直線
恒過定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖的幾何體中,四邊形為長方形,
平面
,
平面
,且
,
為
上一點(diǎn),且
.
(1)求證:平面
;
(2)若,
,
,求此多面體的表面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,PA⊥平面ABCD,E是棱PC上一點(diǎn).
(1)證明:平面ADE⊥平面PAB.
(2)若PE=4EC,O為點(diǎn)E在平面PAB上的投影,,AB=AP=2CD=2,求四棱錐P-ADEO的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展和人們消費(fèi)觀念的不斷提升,越來越多的人日益喜愛旅游觀光.某人想在2019年5月到某景區(qū)旅游觀光,為了避開旅游高峰擁擠,方便出行,他收集了最近5個(gè)月該景區(qū)的觀光人數(shù)數(shù)據(jù)見下表:
月份 | 2018.12 | 2019.1 | 2019.2 | 2019.3 | 2019.4 |
月份編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
旅游觀光人數(shù) | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
(1)由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合旅游觀光人數(shù)少(百萬人)與月份編號(hào)
之間的相關(guān)關(guān)系,請用最小二乘法求
關(guān)于
的線性回歸方程
,并預(yù)測2019年5月景區(qū)
的旅游觀光人數(shù).
(2)當(dāng)?shù)芈糜尉譃榱祟A(yù)測景區(qū)給當(dāng)?shù)氐呢?cái)政帶來的收入狀況,從2019年4月的旅游觀光人群中隨機(jī)抽取了200人,并對他們旅游觀光過程中的開支情況進(jìn)行了調(diào)查,得到如下頻率分布表:
開支金額(千元) | |||||||
頻數(shù) | 10 | 30 | 40 | 60 | 30 | 20 | 10 |
若采用分層抽樣的方法從開支金額低于4千元的游客中抽取8人,再在這8人中抽取3人,記這3人中開支金額低于3千元的人數(shù)為,求
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(參考公式:,其中
,
.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的最小正周期為
,其圖象關(guān)于直線
對稱.給出下面四個(gè)結(jié)論:①將
的圖象向右平移
個(gè)單位長度后得到函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;②點(diǎn)
為
圖象的一個(gè)對稱中心;③
;④
在區(qū)間
上單調(diào)遞增.其中正確的結(jié)論為( )
A.①②B.②③C.②④D.①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為拋物線
的焦點(diǎn),以
為圓心作半徑為
的圓
,圓
與
軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)
,與拋物線
分別交于點(diǎn)
.
(1)若為直角三角形,求半徑
的值;
(2)判斷直線與拋物線
的位置關(guān)系,并給出證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的離心率為
,左、右焦點(diǎn)分別為
,點(diǎn)
在橢圓
上,
的周長為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線l經(jīng)過點(diǎn),且與橢圓
交于不同的兩點(diǎn)
,若
(
為坐標(biāo)原點(diǎn))成等比數(shù)列,判斷直線
的斜率是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,四邊形
是邊長為2的菱形,
為正三角形,
與平面
所成的角為
,平面
平面
.
(1)求證:;
(2)求平面與平面
所成銳二面角的余弦值.
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