Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是A₁B₁，CD的中點(diǎn)．
（1）求二面角E-AF-B的大��； 
（2）求點(diǎn)B到面AEF的距離．

Answer 1

分析：（1）作EM⊥AB于M，則M為AB中點(diǎn)，過(guò)M作MO⊥AF于點(diǎn)O，連接EO，易證∠EOM即為二面角E-AF-B的平面角，由sin∠MAO=cos∠DAF=

AD

AF

可求sin∠MAO，在Rt△MOA中，OM=AM•sin∠MAO可求OM，在Rt△EMO中，tan∠EOM=

EM

OM

，由此可求角∠EOM；
（2）等積法：設(shè)點(diǎn)B到面AEF的距離為d，由V_B-AEF=V_E-ABF，得

1

3

×S△AEF×d=

1

3

×S△ABF×1，兩三角形面積易求，從而可解d；

解答：解：（1）作EM⊥AB于M，則M為AB中點(diǎn)，過(guò)M作MO⊥AF于點(diǎn)O，連接EO，
如右圖所示：
由三垂線定理知AF⊥OE，
∴∠EOM即為二面角E-AF-B的平面角，
sin∠MAO=cos∠DAF=

AD

AF

=

1

1+( 1 2 )2

=

2 5

5

，
在Rt△MOA中，OM=AM•sin∠MAO=

1

2

×

2 5

5

=

5

5

，
在Rt△EMO中，tan∠EOM=

EM

OM

=

1

5 5

=

5

，
所以∠EOM=arctan

5

，
故二面角E-AF-B的大小為arctan

5

；
（2）連接BE、BF，設(shè)點(diǎn)B到面AEF的距離為d，
AE=

AA12+A1E2

=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，AF=

AD2+DF2

=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
連接EM，F(xiàn)M，則EF=

ME2+MF2

=

2

，
可知△AEF為等腰三角形，邊EF上的高h(yuǎn)=

AE2-( 1 2 EF)2

=

5 4 - 1 2

=

3

2

，
由V_B-AEF=V_E-ABF，得

1

3

×S△AEF×d=

1

3

×S△ABF×1，即

1

3

×

1

2

×

2

×

3

2

×d=

1

3

×

1

2

×1×1，
解得d=

6

3

，即點(diǎn)B到面AEF的距離為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的求解、點(diǎn)到平面距離的求解，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力．