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          如圖，已知在正四面體ABCD中，O為A在BCD面內(nèi)的射影，M為AO中點(diǎn)，求證MB、MC、MD兩兩垂直．
          
			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				答案：
          解析：
          		

          證明  設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為A．由ABCD為正四面體，知O為△BCD中心．延長(zhǎng)BO，交CD于E，連結(jié)ME．BE=a，OE=a，BO=A．在Rt△AOB中，AO==，故MO=a．
           

          在Rt△MBO中，MB=．
           

          ∵
           

          ∴ BM⊥ME．
           

          又由三垂線定理，知BM⊥CD，ME∩CD=E，故BM⊥平面MCD．又，故BM⊥MC，BM⊥MD．
           

          同理可證MC⊥MD，MC⊥MB．故MB、MC、MD兩兩垂直．
           

          本題還可在求出MB=a后，同理可知MC=MD=a．
           

          ∵，
           

          ∴MB⊥MC．
           

          同理MB⊥MD，MD⊥MC．
           

          ∴MB、MC、MD兩兩垂直．
           
 

          通過(guò)“計(jì)算”來(lái)證明線線垂直是此例證明的特點(diǎn)．

          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3cm．
          （1）求證：AD⊥BC；
          （2）已知點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且滿足EP∥平面ABD，試求點(diǎn)P的軌跡；
          （3）有一個(gè)小蟲(chóng)從點(diǎn)A開(kāi)始按以下規(guī)則前進(jìn)：在每一個(gè)頂點(diǎn)處等可能地選擇通過(guò)這個(gè)頂點(diǎn)的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當(dāng)它爬了12cm之后，求恰好回到A點(diǎn)的概率．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：
				題型：
			
          

						
          如圖，已知棱長(zhǎng)為a的正四面體ABCD中，E、F在BC上，G在AD上，E是BC的中點(diǎn)，CF＝，AG＝，給出下列四個(gè)命題：①AC⊥BD，②FG＝，③側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為，④，其中真命題的序號(hào)是（     ）
            
          A．①②③    B．①②④    C．②③④    D．①③④
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：2011年江蘇省高考數(shù)學(xué)權(quán)威預(yù)測(cè)試卷（1）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3cm．
          （1）求證：AD⊥BC；
          （2）已知點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且滿足EP∥平面ABD，試求點(diǎn)P的軌跡；
          （3）有一個(gè)小蟲(chóng)從點(diǎn)A開(kāi)始按以下規(guī)則前進(jìn)：在每一個(gè)頂點(diǎn)處等可能地選擇通過(guò)這個(gè)頂點(diǎn)的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當(dāng)它爬了12cm之后，求恰好回到A點(diǎn)的概率．

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：2011年江蘇省南通市通州高級(jí)中學(xué)高考綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3cm．
          （1）求證：AD⊥BC；
          （2）已知點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且滿足EP∥平面ABD，試求點(diǎn)P的軌跡；
          （3）有一個(gè)小蟲(chóng)從點(diǎn)A開(kāi)始按以下規(guī)則前進(jìn)：在每一個(gè)頂點(diǎn)處等可能地選擇通過(guò)這個(gè)頂點(diǎn)的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當(dāng)它爬了12cm之后，求恰好回到A點(diǎn)的概率．

          

			
          

			
          
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