Question

已知函數(shù)，，其中．   
（1）設函數(shù)，若在區(qū)間是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（2）設函數(shù)，是否存在，對任意給定的非零實數(shù)，存在惟一的非零實數(shù)（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因   ……1分
， ∵在區(qū)間上單調(diào)    
恒成立  ……2分
  恒成立
設
令有，記 
由函數(shù)的圖像可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，……4分
∴，于是  ……5分
∴                    ……6分
（2）當時有；  ……7分
當時有，因為當時不合題意，因此，……8分
下面討論的情形，
記 求得  A，B=
（�。┊�時，在上單調(diào)遞增，所以要使成立，只能且，因此有  ……9分
（ⅱ）當時，在上單調(diào)遞減，所以要使成立，只能且，因此   ……11分
綜合（�。�（ⅱ）      ……12分
當時A=B，則，即使得成立，
因為在上單調(diào)遞增，所以的值是唯一的；…13分
同理，，即存在唯一的非零實數(shù)，要使成立，
所以滿足題意.  …14分

本試題主要是考查導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
（1）根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào)遞增，則可以利用導函數(shù)恒大于等于零，分離參數(shù)的思想求解參數(shù)的范圍，
（2）分別分析函數(shù)f(x)和g(x)的性質得到單調(diào)性，進而確定是否存在點滿足已知條件來求解得到。