Question

已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，

5

），且圓心為（5，0），過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作其切線l．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）法一：求出半徑，然后求出圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
法二：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求出半徑，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）法一：求出OA的斜率然后求出直線l的方程．
法二：設(shè)出直線方程，利用直線與圓相切求出k即可求出直線方程．

解答：解：（Ⅰ）法一：點(diǎn)（3，

5

）到圓心（5，0）的距離為圓的半徑R，
所以R=

(3-5)2+( 5 -0)2

=3..（2分）
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-5）²+y²=9..（4分）
法二：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-5）²+y²=R²..（2分）
由圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，

5

）得：(3-5)2+(

5

)2=R2
即：R²=9
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-5）²+y²=R²..（4分）
（Ⅱ）法一：如圖：直線OA、OB與圓M相切于
點(diǎn)A、B，由OM=5，AM=3
可知OA=4，所以kOA=tan∠AOB=

AM

OA

=

3

4

..（6分）
由點(diǎn)斜式可得直線OA的方程為y=

3

4

x，同理可得直線OA方程為y=-

3

4

x..（8分）
法二：設(shè)切線方程為y=kx，與圓M方程聯(lián)立方程組有唯一解，即：

y=kx (x-5)2+y2=9

?（1+k²）x²-10x+16=0有唯一解..（6分）
所以：△=100-64（1+k²）=0，即：k=±

3

4

所以所求切線方程為y=±

3

4

x..（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查直線的切線方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查計(jì)算能力，常考題型．