Question

【題目】已知橢圓C：（）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)，若的面積最大值為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線l：與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，若直線l的斜率是直線、斜率的等比中項(xiàng)，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)及的面積最大值可求出、，即可求出橢圓的方程；

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜率公式可得，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.

解：（1）由拋物線的方程為得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以可得橢圓中.

當(dāng)M點(diǎn)位于橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，

此時(shí)，所以.

又由得，

所以橢圓C的方程為，

（2）由消去y得，

，即（*）.

設(shè)，，則，.

∵直線l的斜率是直線、斜率的等比中項(xiàng)，，

，，，

，，，代入（*）式得.

又，，且，

，

設(shè)點(diǎn)O到直線的距離為d，則，

，

且，，

故面積的取值范圍為.