Question

設(shè)F₁、F₂為曲線C₁：

x2

6

+

y2

2

=1的焦點(diǎn)，P是曲線C₂：

x2

3

-y2=1與C₁的一個(gè)交點(diǎn)，則

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

的值為

1

3

．

Answer 1

分析：先計(jì)算兩曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)它們共焦點(diǎn)，再利用橢圓與雙曲線定義，計(jì)算焦半徑|PF₁|，|PF₂|，最后在焦點(diǎn)三角形PF₁F₂中，計(jì)算∠F₁PF₂=

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

即可

解答：解：依題意，曲線C₁：

x2

6

+

y2

2

=1的焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
雙曲線C₂：

x2

3

-y2=1的焦點(diǎn)也為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
∵P是曲線C₂與C₁的一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)其為第一象限的點(diǎn)
由橢圓與雙曲線定義可知
PF₁+PF₂=2

6

，PF₁-PF₂=2

3

解得PF₁=

6

+

3

，PF₂=

6

-

3

設(shè)∠F₁PF₂=θ
則cosθ=

( 6 + 3 )2+( 6 - 3 )2- 42

2( 6 + 3 )( 6 - 3 )

=

1

3

=

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

故答案為：

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓與雙曲線的定義，有一定的思維難度，用向量工具表達(dá)角的余弦值有一定的隱蔽性，解題時(shí)要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，用聯(lián)系的觀點(diǎn)解題