Question

已知點(diǎn)P（0，b）是y軸上的動點(diǎn)，點(diǎn)F（1，0）、M（a，0）滿足PM⊥PF，動點(diǎn)N滿足．
（1）求動點(diǎn)N所在曲線C的方程．
（2）若曲線C上的兩點(diǎn)A、B滿足OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B不同于O點(diǎn)），試證明直線AB必過定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)動點(diǎn)N（x，y）．依據(jù)題意，有，．由，知，由此能求出曲線C的方程．
（2）因A、B是曲線C：y²=4x（x≥0）上不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，設(shè)、，
則、，．由OA⊥OB，知y₁y₂=-16．由直線AB的法向量為，得直線AB的方程：，由此能夠證明直線AB：恒過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．
解答：解：（1）設(shè)動點(diǎn)N（x，y）． （1分）
依據(jù)題意，有，．（3分）
又，
則，
進(jìn)一步有．
因此，y²=4x（x≥0）．  （7分）
所以曲線C的方程是y²=4x（x≥0）． （8分）
（2）證明：因A、B是曲線C：y²=4x（x≥0）上不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，
可設(shè)、，
則、，
． （11分）
又OA⊥OB，
故．
所以y₁y₂=-16． （14分）
由直線AB的法向量為，
可得直線AB的方程：，
進(jìn)一步化簡為．（16分）
所以直線AB：恒過定點(diǎn)，
且定點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）．      （18分）
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．