Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，連接橢圓C的四個頂點得到的四邊形的面積為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在橢圓C上，是否存在點M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x²+y²=1相交于不同的兩點A，B，且△ABO的面積最大？若存在，求出點M的坐標(biāo)及相對應(yīng)的△ABO的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、對角線相互垂直的四邊形的面積計算公式即可得出；
（2）由題意可知：當(dāng)且僅當(dāng)∠AOB=90°時，△AOB的面積取得最大值，得出m，n滿足的關(guān)系式，與m²+4n²=4聯(lián)立解出即可．

解答：解：（1）由題意可得

e= c a = 3 2 1 2 ×2a×2b=4 a2=b2+c2

解得a=2，b=1，c=

3

，
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）在△AOB中，|OA|=|OB|=1，∴S△AOB=

1

2

|OA| |OB|sin∠AOB≤

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)∠AOB=90°時，S_△AOB有最大值

1

2

，
當(dāng)∠AOB=90°時，點O到直線AB的距離為d=

2

2

．
由d=

2

2

?

1

m2+n2

=

2

2

?m²+n²=2．
又∵m²+4n²=4，聯(lián)立

m2+n2=2 m2+4n2=4

解得

m2= 4 3 n2= 2 3

，此時點M(±

2 3

3

，±

6

3

)．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、對角線相互垂直的四邊形的面積計算公式、直線與圓相交交點與原點得到三角形的面積最大問題、點到直線的距離公式等知識與方法，要求有較強的推理能力和計算能力．