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        1. 已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
          1
          2
          ax2+bx(a≠0),h(x)=
          2(x-1)
          x+1

          (1)當a=-2時,函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)在其定義域范圍是增函數(shù),求實數(shù)b的取值范圍;
          (2)當x>1時,證明f(x)>h(x)成立;
          (3)記函數(shù)f(x)與g(x)的圖象分別是C1、C2,C1、C2相交于不同的兩點P,Q,過線段PQ的中點R作垂直于x軸的垂線,與C1、C2分別交于M、N,問是否存在點R,使得曲線C1在M處的切線與曲線C2在N處的切線平行?若存在,試求出R點的坐標;若不存在,試說明理由.
          (1)當a=-2時,F(xiàn)(x)=lnx+x2-bx,則F′(x)=
          1
          x
          +2x-b
          ,…(1分)
          由于F(x)=lnx+x2-bx在定義域(0,+∞)上是增函數(shù),則
          1
          x
          +2x-b≥0
          ,…(2分)
          b≤
          1
          x
          +2x
          ,…(3分)
          1
          x
          +2x≥2
          2
          (當且僅當x=
          2
          2
          時取等號),于是b≤2
          2

          ∴實數(shù)b的取值范圍是(-∞,2
          2
          ]
          …(4分)
          (2)證明:構造函數(shù)φ(x)=f(x)-h(x)=lnx-2+
          4
          x+1
          (x>1)
          ∵φ′(x)=
          (x-1)2
          x(x+1)2
          >0
          ∴φ(x)在定義域(1,+∞)上是增函數(shù),∴φ(x)>φ(1)=0,∴f(x)>h(x)成立;
          (3)設P(x1,y1),Q(x2,y2),且0<x1<x2,則有lnx1=
          1
          2
          a
          x21
          +bx1
          ,lnx2=
          1
          2
          a
          x22
          +bx2
          ,點R的橫坐標是
          x1+x2
          2
          ,M,N的橫坐標也是
          x1+x2
          2
          ,
          曲線C1在M處的切線的斜率是k1=
          2
          x1+x2
          ,…(9分)
          曲線C2在N處的切線的斜率是k2=a×
          x1+x2
          2
          +b
          ,…(10分)
          若曲線C1在M處與C2曲線在N處的切線相互平行,則k1=k2
          2
          x1+x2
          =a×
          x1+x2
          2
          +b
          ,∴
          2(x2-x1)
          x1+x2
          =a×
          x22
          -
          x21
          2
          +b(x2-x1)

          2(x2-x1)
          x1+x2
          =
          a
          2
          x22
          +bx2-(
          a
          2
          x21
          +bx1)=lnx2-lnx1=ln
          x2
          x1
          ,即
          2(
          x2
          x1
          -1)
          x2
          x1
          +1
          =ln
          x2
          x1
          ,…(11分)
          t=
          x2
          x1
          ,因為0<x1<x2,∴t>1,
          2(t-1)
          t+1
          =lnt(t>1)
          ,…(12分)
          這與第(2)問的結論矛盾,所以不存在點R,使得曲線C1在M處與曲線C2在N處的切線相互平行.…(14分)
          練習冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3-
          3
          2
          ax2-(a-3)x+b

          (1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實數(shù)a,b的值:
          (2)當a<3時,令g(x)=
          f′(x)
          x
          ,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          2
          x2-alnx
          的圖象在點P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
          (1)求出函數(shù)y=f(x)的表達式和切線l的方程;
          (2)當x∈[
          1
          e
          ,e]
          時(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
          12
          x2+a
          (a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點的橫坐標為1.
          (1)求直線l的方程及a的值;
          (2)當k>0時,試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個數(shù).

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          13
          x3+x2+ax

          (1)討論f(x)的單調(diào)性;
          (2)設f(x)有兩個極值點x1,x2,若過兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點在曲線y=f(x)上,求a的值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x3-
          32
          ax2+b
          ,a,b為實數(shù),x∈R,a∈R.
          (1)當1<a<2時,若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
          (2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
          (3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點的個數(shù).

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          同步練習冊答案